Simulating Two-State Discrete-Time Markov Chain with Excel Spreadsheet

พิจารณา Markov chain

ซึ่งมีสอง states {1,2} และมี transition matrix ดังใน Fig 1.

Fig 1: Markov chain with two states {1,2}

ตัวอย่างเช่น ใน duopoly market ประกอบด้วย brand 1 และ 2. ลูกค้าซื้อสินค้าทุกสัปดาห์. ให้

ถ้าสัปดาห์นี้ลูกค้าซื้อ brand 1, สัปดาห์หน้า ลูกค้าจะซื้อ brand 1 ต่อด้วยความน่าจะเป็น 0.9 (อีกนัยหนึ่งคือ จากลูกค้า 100 คนที่ซื้อ brand 1 สัปดาห์นี้, ในสัปดาห์หน้า 90 คนจะยังซื้อ brand 1 เหมือนเดิม).

ถ้าสัปดาห์นี้ลูกค้าซื้อ brand 2, สัปดาห์หน้าลูกค้าจะซื้อ brand 2 ด้วยความหน้าจะเป็น 0.8. ตัวอย่างนี้อยู่ในบทที่ 17, Winston (2004).

Excel จำลอง brand ที่ลูกค้าซื้อในแต่ละสัปดาห์

Fig 2: States at different times

จาก Fig 2, ลูกค้าเริ่มต้นซื้อ brand 1, ในสัปดาห์ที่ 1 ยังคงซื้อ brand 1. ในสัปดาห์ที่ 2, ลูกค้าเปลี่ยนไปซื้อ brand 2, และซื้อ brand 2 ต่อในสัปดาห์ที่ 3, แต่ในสัปดาห์ที่ 4 เปลี่ยนกลับมาซื้อ brand 1

Excel ฟังก์ชัน RAND() ให้ uniform random variable บนช่วง [0,1] แทนด้วย U. จะได้ brand ที่ซื้อในแต่ละสัปดาห์ เป็นดังนี้

และสามารถผูกสูตรตาม Fig 2

เมื่อจำลองหลายๆ สัปดาห์ จาก Fig 3 จะได้ว่า สัดส่วนของสัปดาห์ที่ลูกค้าซื้อ brand 1 ประมาณร้อยละ 60 นั่นคือ market share ของ brand 1 อยู่ที่ 60% (หากคำนวณจากทฤษฎี MC, จะได้ limiting probability 66.67% ดังอธิบายด้านล่าง)

Fig 3: Long-run fraction of time Markov chain is in state 1

MC ข้างต้นเป็น irreducible และ ergodic จะมี limiting probability.

ซึ่งไม่ขึ้นกับ initial state. จาก transition probability ใน matrix P ใน Fig 1, balance equations คือ

และ normalization equation (3). ใน balance equation, สามารถตัดออกได้หนึ่งสมการ (เนื่องจากมี (3) แล้ว). จะเหลือ system of linear equations ที่มี 2 equations และ 2 unknowns. คำตอบที่ได้ คือ

Note: หากสัญลักษณ์คณิตศาสตร์หายไป ใช้ Medium app หรือดูจากคอม

References

Winston, W. L. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms. Belmont: Brooks/Cole-Thomson Learning.